Question

已知數列{a_n}是公比大于1的等比數列，滿足a₃•a₄=128，a₂+a₅=36；數列{b_n}滿足b_n+1=2b_n-b_n-1（n∈N^*，n≥2），且b₂≠b₁=1，b₂，b₄，b₈成等比數列．
（1）求{a_n}及{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，設等比數列{a_n}的公比為q，解方程組

a3•a4=128 a2+a5=36

又a₅＞a₂，可求得{a_n}的通項公式；同理，可求得等差數列{b_n}的公差，繼而可求{b_n}的通項公式；
（2）S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，利用錯位相減法即可求得S_n．

解答：解：（1）依題意，

a3•a4=128 a2+a5=36

⇒

a2•a5=128 a2+a5=36

，又a₅＞a₂，
∴

a2=4 a5=32

，解得

a1=2 q=2

，
∴a_n=2ⁿ．
由b_n+1=2b_n-b_n-1，得2b_n=b_n+1+b_n-1（n∈N^*，n≥2），
∴{b_n}是等差數列，設其公差為d，由b42=b₂•b₈及b₁=1，得：（1+3d）²=（1+d）（1+7d），
∴d²=d，又b₂≠b₁，
∴d=1，
∴b_n=1+（n-1）×1=n．
∴a_n=2ⁿ，b_n=n；
（2）由S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ得：
2S_n=1×2²+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹；
兩式相減得：-S_n=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）×2ⁿ⁺¹，
故S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查等比數列的性質，著重考查數列的求和，突出考查錯位相減法，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．