Question

【題目】某農場灌溉水渠長為1000米，橫截面是等腰梯形，如圖，在等腰梯形中，，，其中渠底寬為1米，渠口寬為3米，渠深米.根據國家對農田建設補貼的政策，該農場計劃在原水渠的基礎上分別沿射線方向加寬、方向加深，若擴建后的水渠橫截面仍是等腰梯形，且面積是原面積的2倍.設擴建后渠深為米，若挖掘費用為每立方米萬元，水渠的內壁（渠底和梯形兩腰，端也要重新鋪設）鋪設混凝土的費用為每平方米萬元.

（1）用表示渠底的長度，并求出的取值范圍；

（2）問渠深為多少米時，建設費用最低？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當米時，建設費用最低

【解析】

（1）作出梯形的高，根據相似三角形和等腰梯形的面積關系，即可求得的長度及的取值范圍；

（2）得出建設費用關于的函數，利用導數求出函數的單調性，從而得出函數的極小值，即可得到答案．

（1）過點作，過點作，垂足分別為，，

設擴建后渠底寬米，因為擴建后水渠仍為等腰梯形，渠深米，，所以，可得，，米，

則，，

擴建后梯形的面積.

又梯形的面積，因為，

所以，所以，

由，解得，

即，，

即渠底的長度為， 的取值范圍為．

（2）建設費用為

，，

設，

則，解得.

		1
	-	0	+

所以當時，函數取得最小值，即建設費用最低.