Question

已知全集U=R，非空集合A={x|

x-2

x-3

＜0}，B={x|（x-a）（x-a²-2）＜0}．
（1）當a=

1

2

時，求（?_UB）∩A；
（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=

1

2

時，A={x|2＜x＜3}，B={x|

1

2

＜x＜

9

4

}．全集U=R，由此能求出（C_UB）∩A．
（2）由命題p：x∈A，命題q：x∈B，q是p的必要條件，知A⊆B．由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a=

1

2

時，A={x|

x-2

x-3

＜0}={x|2＜x＜3}，
B={x|（x-

1

2

）（x-

1

4

-2）＜0}={x|

1

2

＜x＜

9

4

}．
全集U=R，
∴C_UB={x|x≤

1

2

，或x≥

9

4

}．
∴（C_UB）∩A={x|

9

4

≤x＜3}；
（2）∵命題p：x∈A，命題q：x∈B，q是p的必要條件，
∴A⊆B．
∵a²+2-a=（a-

1

2

）²+

7

4

≥

7

4

，
∴a²+2＞a，
∵A={x|2＜x＜3}，B={x|（x-a）（x-a²-2）＜0}，
∴

a≤2 a2+2≥3

，解得a≤-1或1≤a≤2，
故實數a的取值范圍（-∞，-1]，[1，2]．

點評：本題考查集合的混合運用，考查實數滿足條件的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意集合的包含的合理運用．