Question

已知動圓C經過點（0，m）（m＞0），且與直線y=-m相切，圓C被x軸截得弦長的最小值為1．記該圓圓心的軌跡為E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲線C與曲線E的一個公共點，使它們在該點處有相同的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依題意，曲線E是以（0，m）為焦點，以y=-m為準線的拋物線，所以曲線E的方程為x²=4my．…（2分）
設動圓圓心為A（a，

a2

4m

），則圓C方程為（x-a）²+（y-

a2

4m

）²=（

a2

4m

+m）²，
令y=0，得（x-a）²=

a2

2

+m²．
當a=0時，圓C被x軸截得弦長取得最小值2m，于是m=

1

2

，故曲線E的方程為x²=2y．…（5分）
（Ⅱ）假設存在題設的公共點B（b，

1

2

b²）．
圓C方程為（x-a）²+（y-

1

2

a²）²=（

1

2

a²+

1

2

）²，
將點B坐標代入上式，并整理，得（b-a）²[1+

1

4

（a+b）²]=

1

4

（a²+1）²．①…（7分）
對y=

1

2

x²求導，得y′=x，則曲線E在點B處的切線斜率為b．
又直線AB的斜率k=

1 2 b2- 1 2 a2

b-a

=

1

2

（a+b）．
由圓切線的性質，有

1

2

（a+b）b=-1．②…（8分）
由①和②得b²（b²-8）=0．
顯然b≠0，則b=±2

2

．…（9分）
所以存在題設的公共點B，其坐標為（±2

2

，4），公切線方程為y=2

2

（x-2

2

）+4或y=-2

2

（x+2

2

）+4，即y=±2

2

x-4．…（12分）