Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-1|．
（1）解不等式：1≤f（x）+f（x-1）≤2；
（2）若a＞0，求證：f（ax）-af（x）≤f（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用絕對值不等式的性質可得f（x）+f（x-1）=|x-1|+|x-2|≥1，故只須解不等式f（x）+f（x-1）≤2即可，通過對x分x≤1，1＜x≤2，x＞2三類討論，去掉絕對值符號，解之即可；
（2）當a＞0時，求得f（ax）-af（x）=|ax-1|-|a-ax|，利用絕對值不等式的性質可得|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=f（a），從而可證結論．
解答：解：（1）由題f（x）+f（x-1）=|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1．
因此只須解不等式f（x）+f（x-1）≤2．…（2分）
當x≤1時，原不式等價于-2x+3≤2，即≤x≤1．
當1＜x≤2時，原不式等價于1≤2，即1＜x≤2．
當x＞2時，原不式等價于2x-3≤2，即2＜x≤．
綜上，原不等式的解集為{x|≤x≤}．…（5分）
（2）由題f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|．
當a＞0時，f（ax）-af（x）
=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|
≤|ax-1+a-ax|
=|a-1|
=f（a）．…（10分）
點評：本題考查：絕對值不等式的解法，掌握雙絕對值不等式的性質，通過分類討論去掉絕對值符號是解題的關鍵，考查轉化思想與分類討論思想的綜合應用，屬于中檔題．