Question

12．已知集合A={（x，y）|x²+（y+1）²≤1}，B={（x，y）|$\sqrt{3}$x+y=4m}，命題P：A∩B=∅，命題q：直線$\frac{x}{2m}$+$\frac{y}{1-m}$=1在兩坐標軸上的截距為正．
（1）若命題P為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由命題p為真命題，則$d=\frac{{|{\sqrt{3}×0+1×（-1）-4m}|}}{{\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{1^2}}}}＞1$，解得實數m的取值范圍；
（2）若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p，q一真一假，分類討論可得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）由命題p為真命題，則$d=\frac{{|{\sqrt{3}×0+1×（-1）-4m}|}}{{\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{1^2}}}}＞1$…（3分）
解得$m＞\frac{1}{4}$或$m＜-\frac{3}{4}$…（6分）
（2）若命題q為真命題，則$\left\{{\begin{array}{l}{2m＞0}\\{1-m＞0}\\{\;}\end{array}}\right.⇒0＜m＜1$…（8分）
∵“p∨q”為真，“p∧q”為假，
∴p，q一真一假…（9分）
若p真q假，則m≥1或$m＜-\frac{3}{4}$…（11分）；
若p假q真，則$0＜m≤\frac{1}{4}$…（13分）
綜上：m的取值范圍為m≥1或$m＜-\frac{3}{4}$，或$0＜m≤\frac{1}{4}$…（14分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，二次方程根與系數的關系，難度中檔．