Question

我們已經熟悉了極點在直角坐標系的原點、極軸與x軸正向相同的極坐標系下直角坐標與極坐標的互化,那么當極點不在坐標原點,以與x軸平行的直線的正向為極軸時，又怎么求出點的極坐標來呢？

(1)極坐標系的極點在直角坐標系的O′(-3+)，極軸的方向與x軸正向相同，兩個坐標系的長度單位相同，則點P(-3,)的極坐標是____________.

(2)極點在點O′(3,5)處，極軸與y軸正方向一致，兩個坐標系的長度單位相同，求點M(9,-1)的極坐標.

Answer 1

思路分析：不管哪種建系原則,我們只要從定義出發,就能夠解決問題.需要的量是極徑、極點與點P的距離、極角,從極軸開始逆時針旋轉到OP所得到的角.

解：(1)如圖(1),在Rt△PAO′中,O′A=-3+-（-3）=,AP=-=.則tanα==1,α=,θ=∠x′O′P=π+=,

ρ=|O′P|=.

在極坐標系O′x′中,P點的極坐標是(,).

(2)利用定義求出點的極坐標.

如圖(2),過O′點作O′A∥Ox軸,過M點作MA∥Oy軸,與O′A交于A點,連結O′M,則

ρ=|O′M|=,

在Rt△MAO′中,|O′A|=9-3=6,cos∠AO′M=,

∴∠AO′M=.

∴θ=-=.（注:極角是極軸按照逆時針方向旋轉的）

∴M().