Question

設函數，g（x）=4-x，已知滿足f（x）=g（x）的x有且只有一個．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對一切x＞0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數h（x）=k-f（x）-g（x）（k∈R）在[m，n]上的值域為[m，n]（其中n＞m＞0），求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由條件知：ax+=4-x，
∴（a+1）x²-4x+a+1=0有且只有一解，…（2分）
∵a＞0，
∴△=16-4（a+1）²=0，
∴a=1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+，
∴x+＞1對一切x＞0恒成立，
∴m+2＞-x²+x對一切x＞0恒成立，…（6分）
而-x²+x=-+≤，
∴m+2＞，m＞-…（9分）
（Ⅲ）h（x）=k--4=（k-4）-，
易知，h（x）在（0，+∞）是增函數，…（10分）
∴，∴m，n是方程（k-4）-=x的兩實根，
∴方程x²-（k-4）x+2=0在（0，+∞）有兩不等實根，…（12分）
令φ（x）=x²-（k-4）x+2，
則?k＞4+2．
即k的取值范圍是（4+2，+∞）…（15分）
分析：（Ⅰ）依題意有ax+=4-x，利用△=0即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x+＞1對一切x＞0恒成立，轉化為m+2＞-x²+x對一切x＞0恒成立，利用配方法求得-x²+x的最大值即可；
（Ⅲ）可求得h（x）=（k-4）-，易知，h（x）在（0，+∞）是增函數，由方程x²-（k-4）x+2=0在（0，+∞）有兩不等實根，列關系式可求得k的取值范圍．
點評：本題考查函數恒成立問題，考查二次函數在閉區間上的最值，考查二次函數有唯一解中判別式的應用，突出轉化思想與方程思想的綜合運用，屬于難題．