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已知關于x的方程x2+(1+a)x+1+a+b=0(a,b∈R)的兩根分別為x1、x2,且0<x1<1<x2,則的取值范圍是   
【答案】分析:由方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根滿足0<x1<1<x2,可令f(x)=x2+(1+a)x+1+a+b,結合對應二次函數性質得到,然后在平面直角坐標系中,做出滿足條件的可行域,分析的幾何意義,然后數形結合可求得1+的范圍,繼而可求得的取值范圍.
解答:解:由程x2+(1+a)x+1+a+b=0的二次項系數為1>0,
故函數f(x)=x2+(1+a)x+1+a+b圖象開口方向朝上,
又∵方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根滿足0<x1<1<x2

即其對應的平面區域如下圖陰影示:
∵若a=0,由得-1<b<-3,這不可能,故a≠0,
=
=,其幾何意義為可行域內的點與原點連線的斜率,
得P(-2,1),
==-=-2,
∴-1<+1<
若-1<+1<0,則<-1,
若0<+1<,則>2.
的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞).
故答案為:(-∞,-1)∪(2,+∞).
點評:本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系,三個二次之間的關系,線性規劃,其中由方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根滿足0<x1<1<x2,結合二次函數性質得到 是解答本題的關鍵,考查化歸思想與分類討論思想、數形結合思想的綜合應用,屬于難題.
練習冊系列答案
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