Question

已知關于x的方程x²+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的兩根分別為x₁、x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，可令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，結合對應二次函數性質得到，然后在平面直角坐標系中，做出滿足條件的可行域，分析的幾何意義，然后數形結合可求得1+的范圍，繼而可求得的取值范圍．
解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次項系數為1＞0，
故函數f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上，
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂
則 即．
即其對應的平面區域如下圖陰影示：
∵若a=0，由得-1＜b＜-3，這不可能，故a≠0，
∴=，
∵=，其幾何意義為可行域內的點與原點連線的斜率，
由得P（-2，1），
∴==-，=-2，
∴-1＜+1＜．
若-1＜+1＜0，則＜-1，
若0＜+1＜，則＞2．
∴的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案為：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，三個二次之間的關系，線性規劃，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結合二次函數性質得到 是解答本題的關鍵，考查化歸思想與分類討論思想、數形結合思想的綜合應用，屬于難題．