Question

【題目】如圖，關于正方體，有下列四個命題：

①與平面所成角為45°；

②三棱錐與三棱錐的體積比為；

③存在唯一平面.使平面且截此正方體所得截面為正六邊形；

④過作平面，使得棱、，在平面上的正投影的長度相等.則這樣的平面有且僅有一個.

上述四個命題中，正確命題的序號為________.

Answer 1

【答案】①②③.

【解析】

根據線面角的求解方法，三棱錐體積計算公式，正方體截面的性質，以及投影的相關知識，對選項進行逐一分析即可.

對①：過作垂直于，垂足為，如下圖所示：

因為是正方體，

容易知平面，且平面，故可得，

又因為，故平面，故即為所求線面角.

容易知為等腰直角三角形，故.

即與平面所成角為45°.故①正確；

對②：設正方體棱長為1，

故可得；

而棱錐的體積可以理解為

正方體的體積減去4個體積都和相等的三棱錐的體積，

故.

故棱錐與三棱錐的體積比為，則②正確；

對③：根據正方體截面的性質，當截面為六邊形時，

當且僅當為各點所在棱的中點時，截面為正六邊形，如下圖所示：

其它情況下，無法保證截面六邊形的棱長都相等，

故存在唯一平面.使平面且截此正方體所得截面為正六邊形，

則③正確；

對④：若棱在平面的同側，則為過點且與平面平行的平面；

若棱中有一條棱與另外兩條棱分別在平面的異側，則這樣的平面有3個；

故滿足題意的平面有4個.

故④錯誤.

綜上所述：正確的有①②③.

故答案為：①②③.