Question

（03年新課程高考）已知常數a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經過原點O以c+λi為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（i）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；（ii）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；（iii）當時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.

解析:

【易錯點分析】此題綜合程度較高，一方面學生對題意的理解如對方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問題情景下不能很好的結合圓錐曲線的定義來解答，使思維陷入僵局。

解析：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.∵i=（1，0），c=（0，a），  ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直線OP和AP的方程分別為   和 .消去參數λ，得點的坐標滿足方程.整理得  ……① 因為所以得：（i）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；（ii）當時，方程①表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；（iii）當時，方程①也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.

【知識點歸類點拔】本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結合是成為高考命題的主旋律，在解題過程中一方面要注意在給出的向量問題情景中轉化出來另一方面也要注意應用向量的坐標運算來解決解析幾何問題如：線段的比值、長度、夾角特別是垂直、點共線等問題，提高自已應用向量知識解決解析幾何問題的意識。