Question

（2008•湖北模擬）如果橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上存在一點P，使點P到左準線的距離與它到右焦點的距離相等，那么橢圓的離心率的范圍是（　　）

• A．(0，

  2

  -1]
• B．[

  2

  -1，1)
• C．(0，

  3

  -1]
• D．[

  3

  -1，1)

Answer 1

分析：設它到右焦點的距離是m，則到左準線距離m，它到左焦點的距離是2a-m，由橢圓第二定義可知

2a-m

m

=e=

c

a

，m=

2a2

a+c

，再到左準線距離m，

a2

c

-a≤m≤

a2

c

+a，進而求得

c

a

即e的范圍．

解答：解：設它到右焦點的距離是m，則到左準線距離m，
它到左焦點的距離是2a-m，
由橢圓第二定義可知

2a-m

m

=e=

c

a

，m=

2a2

a+c

，
對于到左準線距離m，

a2

c

-a≤m≤

a2

c

+a
∴a²-c²≤2ac≤（a+c）²2ac≤（c+a）²恒成立
a²-c²≤2ac
∴c²+2ac-a²≤0   
兩邊同時除以a²得e²+2e-1≥0
解得e≥

2

-1，∵橢圓離心率小于1
∴

2

-1≤e＜1
故選B．

點評：本題主要考查了橢圓的基本性質、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．