Question

【題目】平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，焦點為、，直線經過焦點，并與相交于、兩點．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）在上是否存在、兩點，滿足//，？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在滿足條件的直線

【解析】

試題（1）由橢圓幾何性質求得得到橢圓方程；（2）首先設出CD直線，與橢圓聯(lián)立整理為的二次方程，找到根與系數的關系，由已知轉化出，代入點的坐標整理求的的值，最后要注意驗證二次方程中是否成立

試題解析：（1）依題意，，由得

，橢圓的方程為

（2）（方法一）若存在滿足條件的直線，∵，∴，

設直線的方程為

由……6分，得，

（*）

設，，則，

若線段的中點為，則即

由已知，則，，，由，解得

時，，與（*）矛盾，∴不存在滿足條件的直線

（方法二）假設存在，，線段的中點為，則，由兩式相減得

代入、化簡得：①

由已知，則，由得，② 由①②解得，即直線CD的方程為：

聯(lián)立得，∵，方程組無解，

∴不存在滿足條件的直線