Question

（本題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD的側面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2，CD,M在棱PC上，N是AD的中點，二面角M-BN-C為.

（1）求的值；

（2）求直線與平面BMN所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）＝3；（Ⅱ）-。

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線面角的求解以及線段的比例關系的綜合運用。

（1）作ME∥CD，ME∩PD＝E．

∵∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC＝2，N是AD的中點，∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，   ∴BN⊥平面PAD，  ∴BN⊥NE，

則∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，        

∠DNE＝30°

（2）連結BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，

則∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連結PN，

則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，

從而得到線面角的值。

（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD＝E．

∵∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC＝2，N是AD的中點，∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，   ∴BN⊥平面PAD，  ∴BN⊥NE，

則∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，        

∠DNE＝30°．……………3分

∵PA＝PD＝AD，∴∠PDN＝60°，∴∠DEN＝90°，∴DE＝DP，

∴CM＝CP，故＝3----------------6分

（Ⅱ）連結BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，

則∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連結PN，

則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，

∴PB＝＝＝，-------------- 9分

又PE＝PD＝，∴sin∠PBE＝＝．

所以直線PB與平面MBN所成的角為-   -----------12分