Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=1，S_n=

1

3

(an+1-1)，n∈N^*．
（1）寫出a₂，a₃的值，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=

1

log4an+1log4an+2

，數列{b_n}的前n項和為T_n，試比較T_n與1的大小．

Answer 1

分析：（1）當n≥2時，由a_n+1=3S_n+1可得a_n=3S_n-1+1，兩式相減，可得數列{a_n}是以1為首項，4為公比的等比數列，從而可得數列的通項；
（2）確定數列的通項，利用裂項法求和，即可得出結論．

解答：解：（1）由已知易得：a₂=4，a₃=16   …（2分）
當n≥2時，由a_n+1=3S_n+1可得a_n=3S_n-1+1，兩式相減得：a_n+1=4a_n，
又由于a₁=1，a₂=4，
所以數列{a_n}是以1為首項，4為公比的等比數列，
所以其通項公式為：a_n=4^n-1（n∈N^*）…（6分）
（2）由（1）可知bn=

1

log4an+1log4an+2

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

…（8分）
則T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1…（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．