Question

已知曲線C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）
（1）若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N，直線y=1與直線BM交于點G．求證：A，G，N三點共線．

Answer 1

【答案】分析：（1）原曲線方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用曲線C是焦點在x軸點上的橢圓可得不等式組，即可求得m的取值范圍；
（2）由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3），解得：，設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程為：，則，從而可得，=（x_N，kx_N+2），欲證A，G，N三點共線，只需證，共線，利用韋達(dá)定理，可以證明．
解答：（1）解：原曲線方程可化簡得：
由題意，曲線C是焦點在x軸點上的橢圓可得：，解得：
（2）證明：由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3）＞0，解得：
由韋達(dá)定理得：①，，②
設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程為：，則，
∴，=（x_N，kx_N+2），
欲證A，G，N三點共線，只需證，共線
即成立，化簡得：（3k+k）x_Mx_N=-6（x_M+x_N）
將①②代入可得等式成立，則A，G，N三點共線得證．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三點共線，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．