Question

定義在D={x∈R|x≠0}上的函數f（x）滿足兩個條件：①對于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=；②曲線y=f（x）存在與直線x+y+1=0平行的切線．
（Ⅰ）求過點（-1，）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞），n∈N⁺時，求證：f_n（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=y=1得，f²（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
當f（1）=-1時，令y=1得，f（x）=-，即f（x）=-（x+），
f′（x）=-（1-），
由f′（x）=-1得，x²=-1，此方程在D上無解，這說明曲線y=f（x）不存在與直線x+y+1=0平行的切線，不合題意，
則f（1）=2，此時，令y=1得，f（x）==x+，f′（x）=1-，
由f′（x）=-1得，x²=，此方程在D上有解，符合題意．
設過點（-1，）的切線切曲線y=f（x）于（x₀，x₀+），則切線的斜率為1-，
其方程為y-x₀-=（1-）（x-x₀），把點（-1，）的坐標代入整理得，
5-8x₀-4=0，解得x₀=-或x₀=2，
把x₀=-或x₀=2分別代入上述方程得所求的切線方程是：y=-x-5和y=x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+，當n∈N^*時，
fⁿ（x）-f（xⁿ）=-（xⁿ+）
=x^n-1•+x^n-2•+…+x²•+x•
=x^n-2+x^n-4+…++，
由x∈（0，+∞），n∈N^*知，xⁿ∈（0，+∞），那么
2（fⁿ（x）-f（xⁿ））=x^n-2+x^n-4+…++
+++…+x^n-4+x^n-2
=x^n-2+x^n-4+…++
+++…+x^n-4+x^n-2
=（x^n-2+）+（x^n-4+）+…+（x^n-2+）
≥2+2+…+2）
=2（++…+）
=2[（+++…++）--）]
=2（2ⁿ-2）
所以fⁿ（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．
分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）=2，從而可求得f（x）=x+，設過點（-1，）的切線切曲線y=f（x）于（x₀，x₀+），則切線的斜率為1-，于是可求得切線方程，將點（-1，）的坐標代入方程即可求得x₀，從而可得過點（-1，）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+，當n∈N^*時，fⁿ（x）-f（xⁿ）=-（xⁿ+），利用二項式定理將展開，采用倒序相加法可求得2（fⁿ（x）-f（xⁿ）），再利用基本不等式即可證得結論．
點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查不等式的證明，突出二項式定理及倒序相加法與基本不等式的綜合運用，屬于難題．