Question

已知：平面α∥平面β，AB，CD是夾在這兩個平面之間的線段，且AE=EB，CG=GD，，如圖所示．

求證：EG∥平面α，EG∥平面β．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：若AB、CD異面，過點A作AH∥CD交平面β于H，設F是AH的中點，連結EF，FG和BH，HD． ∵E、F分別是AB、AH的中點， ∴EF∥BH，且平面β，平面β．∴EF∥β． 由作圖知AH∥CD，AH與CD確定一平面AHDC． 則有平面AHDC∩α=AC，有AHDC∩β=HD． 又∵α∥β，∴AC∥HD． 又F，G分別是AH，CD的中點，且AC∥HD， ∴FG∥HD．∴FG∥β．∵EF∩FG=F，∴平面EFG∥β． 又α∥β，∴平面EFG∥α． ∵平面EFG，∴EG∥α，EG∥β． 若AB、CD相交，∵α∥β，∴AC∥BD． 又∵AE=EB，CG=GD，∴EG∥AC，EG∥BD． ∵平面α，平面β，平面α，平面β， ∴EG∥平面α，EG∥平面β． 通過作輔助線和輔助平面，利用平行四面的性質解決問題．