Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設（n∈N^*），求證：3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²＜ln（n+1）+2n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，所以f′（x）大于等于0恒成立，解出a小于等于一個函數(shù)，求出這個函利用基本不等式求出此函數(shù)的最小值即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）令a=3化簡f（x），求出f′（x），因為當x大于1時導函數(shù)大于0，所以函數(shù)在大于1時為增函數(shù)，所以由1+大于1得到f（1+）大于f（1），分別表示出代入化簡后得到即，列舉出各項即可得證．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax?（x＞0），則（x＞0）．
因為函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調增函數(shù)，
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．即在（0，+∞）上恒成立．
所以．
因為當x＞0時，，當且僅當，即時等號成立．
所以時．
故實數(shù)a的取值范圍是：．

（Ⅱ）令a=3，則f（x）=lnx+x²-3x．=．
當x＞1時，f′（x）＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
所以．
所以．
所以．
即．
所以3a₁-a₁²＜2+ln（1+1），，，
．
所以3（a₁+a₂+…+a_n）-a₁²-a₂²-…-a_n²=（3a₁-a₁²）+（3a₂-a₂²）+…+（3a_n-a_n²）＜2n+ln（n+1）．
故所證不等式成立．
點評：考查學生會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會利用基本不等式求函數(shù)的最值，掌握導數(shù)在函數(shù)最值問題中的應用，是一道中檔題．