Question

對于△ABC，有如下四個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形，
②若sinB=cosA，則△ABC是不一定直角三角形
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則△ABC是鈍角三角形
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的命題是

②④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷．②根據(jù)三角形的圖象和性質進行判斷．③根據(jù)正弦定理去判斷．④根據(jù)正弦定理和三角函數(shù)的公式進行判斷．

解答：解：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=

π

2

，則△ABC為等腰或直角三角形，∴①錯誤．
②若sinB=cosA，則sinB=cosA=sin（

π

2

-A），∴B=

π

2

-A或B+

π

2

-A=π，即A+B=

π

2

或B-A=

π

2

，則△ABC不一定為直角三角形，∴②正確．
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則根據(jù)正弦定理得a²+b²＞c²，∴C為銳角，但不能判斷A或B為鈍角，∴③錯誤．
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，則根據(jù)正弦定理得

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，
即sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，∴

A

2

=

B

2

=

C

2

，∴A=B=C，∴△ABC是等邊三角形．∴④正確．
故正確的是②④．
故答案為：②④．

點評：本題主要考查正弦定理和三角公式的應用，要求熟練掌握三角函數(shù)的運算公式，考查學生的運算能力．