Question

如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中點，E，F，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．
（1）求證：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

Answer 1

解：由題意畫出如下圖形：
（1）連接AC，BD交與點O，連接GO，FO，EO，
∵E，F分別為PC，PD的中點，
∴∴
∴四邊形EFOG是平行四邊行，∴EO?平面EFOG，又在△PAC中，
E，O分別為PC，AC的中點∴PA∥EOEO?平面EFOGPA不在平面EFOG
∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG；

（2）取AD的中點H，連接GH，則由GH∥CD∥EF知平面EFG即為平面EFGH，
由已知底面ABCD為正方形∴AD⊥DC
又∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD又PD∩DC=D∴CD⊥平面PAD
又EF∥CD∴EF⊥平面PAD∴EF⊥FD，EF⊥FH∴∠HFD為二面角的平面角
在直角三角形FDH中，由FD=DH=1得∠HFD=45°，故二面角G-EF-D的平面角為45°．
分析：（1）由題意及圖形，抓住折疊前與折疊后之間的連系，利用條件在平面內找到與直線平行的直線用線面平行的判定定理進行證明．
（2）由題意及（1）可以知道利用二面角的概念找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小．
點評：此題重點考查了學生們的空間想象能力，還考查了正方形的特點及折疊前后之間的不變量及線面平行的判定定理，此外還考查了利用二面角平面角的定義在三角形中求解二面角的大小．