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設△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

【答案】分析：（Ⅰ）根據O為△ABC的外心，可得，利用向量的加減法，向量的數量積，可證AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，從而問題得證；
（Ⅱ）延長AG交BC于D，則D為BC中點，根據G為△ABC之重心，證明，即可得O，G，H三點共線．
解答：證明：（Ⅰ）∵O為△ABC的外心，∴，
∵，∴，
∴
∴，即AH⊥BC，
同理BH⊥AC，CH⊥AB，
∴H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）延長AG交BC于D，則D為BC中點，∴，
∵G為△ABC之重心，∴
∵，
∴，∴，
∴O，G，H三點共線．
點評：本題考查向量知識的運用，考查向量的數量積，考查向量共線，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設△ABC的外心為O，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以OC、OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．
（1）若
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
c
，用
a
、
b
、
c
表示
OH
；
（2）求證：AH⊥BC；
（3）設△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圓半徑為R，用R表示
|OH|
．（外心是三角形外接圓的圓心）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網設△ABC的外心為O（三角形外接圓的圓心），其外接圓半徑為1，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以OC，OD為鄰邊作平行四邊形，它的第四個頂點為H．若
OA
=a，
OB
=b，
OC
=c．
（1）用a，b，c表示
OH
；
（2）求證：點H為△ABC的垂心；
（3）設△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，求|
OH
|．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設△ABC的外心為O，重心為G，取點H，使數學公式．求證：
（Ⅰ）點H為△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一條直線上．

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