Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線(xiàn)y=x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后與直線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和、兩根之積的關(guān)系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=可得到兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后再與兩根之和、兩根之積的關(guān)系式聯(lián)立可求a，b的值，從而可確定橢圓方程．
解答：解：設(shè)所求橢圓方程為
依題意知，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組
①②
將②式代入①式，整理得
（a²+b²）x²+2a²x+a²（1-b²）=0，③
設(shè)方程③的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，那么直線(xiàn)y=x+1與橢圓的交點(diǎn)為P（x₁，x₁+1），Q（x₂，x₂+1）．
由題設(shè)OP⊥OQ，|PQ|=，可得
整理得
④⑤
解這個(gè)方程組，得或
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由③式得
（Ⅰ）或（Ⅱ）
解方程組（Ⅰ），（Ⅱ），得或
故所求橢圓的方程為，或
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的綜合題．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合題一般是將兩方程聯(lián)立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出兩根之和、兩根之積，再由題中條件可解題．