Question

（2013•蘭州一模）選修4-1：《幾何證明選講》
已知：如圖，eO為△ABC的外接圓，直線l為eO的切線，切點為B，直線AD∥l，交BC于D、交eO于E，F為AC上一點，且∠EDC=∠FDC．求證：
（Ⅰ）AB²=BD．BC；
（Ⅱ）點A、B、D、F共圓．

Answer 1

分析：（I）欲證AB²=BD•BC，即證

AB

DB

=

BC

AB

，只須證△ABC∽△DAB．根據相似三角形的判定，由于∠ABC=∠DBA，只須證明∠ACB=∠DAB即可．
（II）要證明A、B、D、F四點共圓，根據四點共圓定理只要證∠BAC+∠EDC=180°即可．

解答：證明：（1）∵直線l為圓O的切線，∴∠1=∠ACB．
∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．
∴∠ACB=∠DAB，
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DAB．
∴

AB

DB

=

BC

AB

．
∴AB²=BD•BC．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．
∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，
∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠EDC=∠FDC+∠FDB=180°．
∴點A、B、D、F共圓．…（10分）

點評：本題考查與圓有關的比例線段的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．