Question

已知函數y=

x2-x+n

x2+1

（n∈N^*，y≠1）的最小值為a_n，最大值為b_n，且c_n=4（a_nb_n-

1

2

）．數列{c_n}的前n項和為S_n．
（1）請用判別式法求a₁和b₁；
（2）求數列{c_n}的通項公式c_n；
（3）若{d_n}為等差數列，且d_n=

Sn

n+c

（c為非零常數），設f（n）=

dn

(n+36)dn+1

（n∈N^*），求f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先整理出關于y的一元二次方程，再利用判別式，可求求a₁和b₁；
（2）先整理出關于y的一元二次方程，再利用韋達定理便可求出a_nb_n，代入c_n的表達式中即可求出數列{c_n}的通項公式；
（3）由（2）中c_n的通項公式先求出S_n的表達式，然后根據題意求出d_n的通項公式，再根據{d_n}為等差數列的條件便可求出c的值，可得的d_n 的通項公式代入求出f（n）的表達式，根據基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）n=1時，y=

x2-x+1

x2+1

，則（y-1）x²+x+y-1=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-1）≥0，即4y²-8y+3≤0
∴

1

2

≤y≤

3

2

∴a₁=

1

2

，b₁=

3

2

；
（2）由y=

x2-x+n

x2+1

，可得（y-1）x²+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0
由題意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的兩根，
∴a_n•b_n=

4n-1

4

∴c_n=4（a_nb_n-

1

2

）=4n-3；
（3）∵c_n=4n-3，∴S_n=2n²-n，∴d_n=

Sn

n+c

=

2n2-n

n+c

∵{d_n}為等差數列，∴2d₂=d₁+d₃，
∴2c²+c=0，∴c=0（舍去）或c=-

1

2

，∴d_n=

2n2-n

n- 1 2

=2n
∴f（n）=

dn

(n+36)dn+1

=

n

n2+37n+36

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

2 36 +37

=

1

49

當且僅當n=

36

n

，即n=6時，取等號，∴f（n）的最大值為

1

49

．

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．