Question

f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax-2(a＞0且a≠1)，
(Ⅰ)當(dāng)a=2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間[0，2]內(nèi)有三個零點(diǎn)，求a的取值范圍。
注：a³-3a²+2=(a-1)(a²-2a-2)

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=6x²-18x+12=6(x-1)(x-2)，
所以函數(shù)f(x)在(-∞，1)與(2，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減。
(Ⅱ)因?yàn)閒(0)=-2，f(2)=2，
所以函數(shù)f(x)的極值必須都在(0，2)內(nèi)，且0在兩個極值之間，
當(dāng)0＜a＜1時，3a-3＜0＜-a³+3a²-2無解；
當(dāng)1＜a＜2時，-a³+3a²-2＜0＜3a-3，解得1＜a＜2；
綜上，a的取值范圍是(1，2)。