Question

若z∈C，arg（z²-4）=

5π

6

，arg（z²+4）=

π

3

，則z的值是

±（1+

3

i）

．

Answer 1

分析：設(shè)z=x+yi（x、y∈R），算出z²-4=（x²-y²-4）+2xyi，z²+4=（x²-y²+4）+2xyi．根據(jù)復(fù)數(shù)輻角主值的定義，得關(guān)于x、y的方程組，解得x、y的值，即得z=1+

3

i或z=-1-

3

i．

解答：解：設(shè)z=x+yi（x、y∈R），則z²=（x+yi）²=（x²-y²）+2xyi
∴z²-4=（x²-y²-4）+2xyi，z²+4=（x²-y²+4）+2xyi，
∵arg（z²-4）=

5π

6

，arg（z²+4）=

π

3

，
∴tan

5π

6

=

2xy

x2-y2-4

=-

3

3

…①，tan

π

3

=

2xy

x2-y2+4

=

3

…②．
聯(lián)解①②，得

x=1 y= 3

或

x=-1 y=- 3

，所以z=1+

3

i或z=-1-

3

i
故答案為：±（1+

3

i）

點(diǎn)評(píng)：本題給出復(fù)數(shù)z²-4、z²+4的輻角主值，求復(fù)數(shù)z的值，著重考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和輻角的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．