Question

已知圓心在第一象限的圓C的半徑為2

5

，且與直線x+2y-6=0切于點P（2，2）．
（1）求圓C的方程；
（2）從圓C外一點P引圓C的切線PT，T為切點，且PT=PO（O為坐標原點），求PT的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出過點P（2，2）且與直線x+2y-6=0垂直的直線方程，因為圓心在該直線上，設出圓心坐標，由圓心到切線的距離等于半徑求出圓心坐標，則圓的方程可求；
（2）設出P點的坐標，由PT=PO列式得到P點的軌跡為直線，然后求出O到該直線的距離即為PT的最小值．

解答：解：（1）過點P（2，2）且與直線x+2y-6=0垂直的直線方程為2x-y-2=0，
故可設圓的圓心為（a，2a-2），則

|a+4a-4-6|

5

=2

5

，解得a=4或a=0，
因為圓心在第一象限，故圓心坐標為（4，6），
所以圓的方程為（x-4）²+（y-6）²=20；
（2）設P（x，y），則PO=

x2+y2

，PT=

(x-4)2+(y-6)2-20

，
由PT=PO得，2x+3y-8=0，
所以PTmin=POmin=

8

13

=

8 13

13

．
即PT的最小值為

8 13

13

．

點評：本題考查了直線與圓的關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了點到直線的距離公式，是中檔題．