Question

【題目】已知函數f(x)＝lnx﹣x2+ax，g(x)＝ex﹣e，其中a＞0.

(1)若a＝1，證明：f(x)≤0；

(2)用max{m，n}表示m和n中的較大值，設函數h(x)＝max{f(x)，g(x)}，討論函數h(x)在(0，+∞)上的零點的個數.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)當0＜a≤1時，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零點；當a＞1時，h(x)在(0，+∞)上也有1個零點

【解析】

(1)對f(x)求導，然后求出f'(x)的零點，再判斷f(x)的單調性，然后求出f(x)的最大值，進而證明f(x)≤0成立；

(2)由條件知h(x)在區間(1，+∞)上不可能有零點，然后根據條件考慮在區間(0，1)上和x＝1處時h(x)的零點情況即可.

解：(1)(x＞0)，

令f'(x)＝0，則x＝1或(舍)，

∴當x∈(0，1)時，＞0，f(x)單調遞增，

當x∈(1，+∞)時，＜0，f(x)單調遞減，

∴f(x)≤f(x)max＝f(1)＝0.

(2)是上的增函數，，

在區間(1，+∞)上，g(x)＞0，∴h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＞0，

∴h(x)在區間(1，+∞)上不可能有零點.

下面只考慮區間(0，1)上和x＝1處的情況.

由題意f(x)的定義域為(0，+∞)，.

令＝0可得(負值舍去).

在(0，x0)上＞0，f(x)為增函數，在(x0，+∞)上＜0，f(x)為減函數，

∴f(x)max＝f(x0).

①當a＝1時，x0＝1，∴f(x)max＝f(1)＝0.

∵在區間(0，1)上，g(x)＜0，且g(1)＝0，

∴此時h(x)存在唯一的零點x＝1.

②當0＜a＜1時，.

∵，∴.

∴，

于是f(x)＜0恒成立，結合函數g(x)的性質，

可知此時h(x)存在唯一的零點x＝1.

③當a＞1時，，∴f(x)在(0，1)上遞增.

又∵f(1)＝a﹣1＞0，，

∴f(x)在區間(0，1)上存在唯一的零點x＝x1.

結合函數g(x)的性質，可知x＝x1是h(x)唯一的零點.

綜上，當0＜a≤1時，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零點x＝1；

當a＞1時，h(x)在(0，+∞)上也有1個零點.