Question

已知數列{a_n}中，an=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N₊），
（1）若a1=

3

5

，數列{b_n}滿足bn=

1

an-1

（n∈N₊），求證數列{b_n}是等差數列；
（2）若a1=

3

5

，求數列{a_n}中的最大項與最小項，并說明理由；
（3）若1＜a₁＜2，試證明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

Answer 1

分析：（1）要證明數列{b_n}是等差數列，只需證明它的后一項與前一項的差為非零常數即可，先根據數列{a_n}的遞推公式推出數列{b_n}的遞推公式，即可證明．
（2）由（1）可得數列{b_n}的通項公式，再由bn=

1

an-1

，可得數列{a_n}的通項公式，判斷數列{a_n}對應連續函數得單調性，得到數列的單調性，進而可得數列的最值；
（3）先用數學歸納法證明1＜a_n＜2，注意遞推式an=2-

1

an-1

的使用，再證明數列是遞減數列，利用a_n+1-a_n＜0，不等式可證．

解答：解：（1）bn=

1

an-1

=

1

2- 1 an-1 -1

=

an-1

an-1-1

，而bn-1=

1

an-1-1

，
∴bn-bn-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首項為b1=

1

a1-1

=-

5

2

，公差為1的等差數列．
（2）依題意有an-1=

1

bn

，而bn=-

5

2

+(n-1)•1=n-3.5，
∴an-1=

1

n-3.5

．對于函數y=

1

x-3.5

，
在x＞3.5時，y＞0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，
在（3.5，+∞）上為減函數．且y＞0，故當n=4時，an=1+

1

n-3.5

取最大值3．
而函數y=

1

x-3.5

在x＜3.5時，y＜0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，
在（-∞，3.5）上也為減函數．且y＜0，故當n=3時，取最小值，a₃=-1．
∴數列{a_n}中的最大項是a₄=3；最小項是a₃=-1
（3）先用數學歸納法證明1＜a_n＜2，再證明a_n+1＜a_n．①當n=1時，1＜a₁＜2成立；
②假設當n=k時命題成立，即1＜a_k＜2，
當n=k+1時，

1

2

＜

1

ak

＜1?ak+1=2-

1

ak

∈(1，

3

2

)?1＜a_k+1＜2故當n=k+1時也成立，
綜合①②有，命題對任意n∈N₊時成立，即1＜a_n＜2．
（也可設f(x)=2-

1

x

（1≤x≤2），則f′(x)=

1

x2

＞0，
故1=f（1）＜ak+1=f(ak)＜f(2)=

3

2

＜2）．
進而證明a_n+1＜a_n
∵an+1-an=2-(an+

1

an

)＜2-2

an• 1 an

=0
∴a_n+1＜a_n

點評：本題綜合考查了等差數列的證明、數列的最值及數列與不等式證明，重點考查了數列的函數性質，解題時要認真體會，準確作答．