Question

設同時滿足條件：①≤b_n＋1(n∈N_＋)；②b_n≤M(n∈N_＋，M是與n無關的常數)的無窮數列{b_n}叫“特界”數列.

(1)若數列{a_n}為等差數列，S_n是其前n項和，a₃＝4，S₃＝18，求S_n；

(2)判斷(1)中的數列{S_n}是否為“特界”數列，并說明理由.

Answer 1

(1)設等差數列{a_n}的公差為d，

則a₁＋2d＝4，S₃＝a₁＋a₂＋a₃＝3a₁＋3d＝18，

解得a₁＝8，d＝－2，

∴S_n＝na₁＋d＝－n²＋9n.

(2)由－S_n＋1＝＝＝＝－1<0

得<S_n＋1，故數列{S_n}適合條件①

而S_n＝－n²＋9n＝－(n－)²＋(n∈N_＋)，則當n＝4或5時，S_n有最大值20，

即S_n≤20，故數列{S_n}適合條件②.

綜上，數列{S_n}是“特界”數列.