Question

將3k（k為正整數）個石子分成五堆。如果通過每次從其中3堆中各取走一個石子，而最后取完，則稱這樣的分法是“和諧的”。試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明。

Answer 1

解析： 分法是和諧的 充分必要條件 是 最多一堆石子的個數不超過k。 

下面設五堆石子的個數分別為a,b,c,d,e（其中）。

 

“必要性”的證明： 若分法是和諧的，則把a所對應的石子取完至少要取a次，這a次每次都要取走3個石子。如果 ，則，即把a所對應的一堆取完時，需取走的石子多于五堆石子的總數。矛盾。因此最多一堆石子的個數不能超過k。

 

 “充分性”的證明：（數學歸納法）

 

（1）    當時，滿足“” 的分法只能是1，1，1，0，0。顯然這樣的分法是和諧的。

（2）    假設時，滿足“” 的分法是和諧的。

（3）    當時，若，且分法a,b,c,d,e是不和諧的，則分法a－1,b－1,c－1, d, e也是不和諧的。由（2）及必要性的證明，可知

。

因為，所以。

  若，則有 。這與 矛盾。

  若，則有 ，從而有，于是有

 ，這是不可能的。矛盾。

因此當時，分法a,b,c,d,e是和諧的。