Question

已知橢圓與的離心率相等. 直線與曲線交于兩點（在的左側），與曲線交于兩點（在的左側）,為坐標原點，．
（1）當=，時，求橢圓的方程；
（2）若，且和相似，求的值．

Answer 1

（1）的方程分別為，．（2）.

解析試題分析：（1）由于已知中明確了曲線方程的形式，所以，關鍵是建立“待定系數”.由已知建立方程組即可得解.
（2）由于三角形相似，因此要注意利用對應邊成比例，并結合，建立的方程.將與方程，聯立可得在坐標關系．
利用，得到 .
根據橢圓的對稱性可知：，，又和相似，得到，
于是從出發，得到，即的方程.
試題解析：
（1）∵的離心率相等，
∴,∴，                     2分
，將分別代入曲線方程，
由，
由.
當=時，,．
又∵,.
由 解得.
∴的方程分別為，．               5分
（2）將代入曲線得
將代入曲線得，
由于，
所以,，，．
，，
                               8分
根據橢圓的對稱性可知：，， 又和相似，
，
，
由化簡得
代入得                         13分
考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的數量積.