Question

已知函數f（x）=x²+（a-3）x-3a （a為常數）
（1）若a=5，解不等式f（x）＞0；
（2）若a∈R，解不等式f（x）＞0；
（3）若對于任意x∈（3，10），總有f（x）＞0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先把一元二次不等式變為x²+2x-15＞0，然后運用因式分解即可解得不等式的解集；
（1）先把不等式化簡為（x+a）（x-3）＜0，再進行分類討論：a＞-3；a=-3；a＜-3，可求不等式的解集；
（2）任意x∈（3，10），總有f（x）＞0成立，，即x²+（a-3）x-3a＞0對任意x∈（3，10），恒成立，將參數a分離出來，從而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=5時，（1分）
f（x）=x²+2x-15=（x+5）（x-3）
∴不等式f（x）＞0的解集為：（-∞，-5）∪（3，+∞）；
（2分）
（2）當a∈R時，f（x）=x²+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
∴f（x）=（x+a）（x-3）=0的兩根為3，-a  （3分）
①當3=-a即a=-3時，原不等式的解集為：（-∞，3）∪（3，+∞）；（4分）
②當3＞-a即a＞-3時，原不等式的解集為：（-∞，-a）∪（3，+∞）；（5分）
③當3＜-a即a＜-3時，原不等式的解集為：（-∞，3）∪（-a，+∞）；（6分）
（3）若對于任意x∈（3，10），總有f（x）＞0成立，
即對于任意x∈（3，10），總有f（x）=x²+（a-3）x-3a＞0成立，
即對于任意x∈（3，10），（x-3）a＞3x-x²成立
即對于任意x∈（3，10），a＞

3x-x2

x-3

=-x成立（9分）
當x∈（3，10），-10≤x＜-3（11分）
∴a≥-3（12分）．

點評：本題以函數為載體，考查一元二次不等式的解法，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確分類，利用分離參數法求解恒成立問題．