Question

【題目】已知橢圓C的焦點坐標是F1（﹣1，0）、F2（1，0），過點F2垂直于長軸的直線l交橢圓C于B、D兩點，且|BD|=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過定點P（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓C相交于不同兩點M，N，試判斷：在x軸上是否存在點A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實數m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程為 =1（a＞b＞0），

由題意可得c=1，即a2﹣b2=1，

又x=1時，y=±b ，

可得 =3，

解得a=2，b= ，

即有橢圓的方程為 ；

（2）解：設直線l的方程為y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點為E（x0，y0），

在x軸上假設存在點A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，

即有AE⊥MN，

由y=kx+2代入橢圓方程，可得（3+4k2）x2+16kx+4=0，

則△=（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得k＞ 或k＜﹣ ，

x1+x2=﹣ ，中點x0=﹣ ，

y0=k（﹣ ）+2= ，

由kAE=﹣ ，可得 =﹣ ，

可得m=﹣ = ，

當k＞ 時，4k+ ≥4 ，即有﹣ ≤m＜0；

當k＜﹣ 時，4k+ ≤﹣4 ，即有0＜m≤ ．

綜上可得，存在點A（m，0），且m∈[﹣ ，0）∪（0， ]，

使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形

【解析】（1）設橢圓方程為 =1（a＞b＞0），由題意可得c=1，再由x=1代入橢圓方程，可得弦長，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）設直線l的方程為y=kx+2，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），MN的中點為E（x0 ， y0），在x軸上假設存在點A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，即有AE⊥MN．將直線方程代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，結合基本不等式即可得到所求m的范圍，進而判斷存在．