Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）。已知（1，e）和（e，）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率。

（1）求橢圓的方程；
（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF₁與直線BF₂平行，AF₂與BF₁交于點P。
（i）若AF₁-BF₂=，求直線AF₁的斜率；
（ii）求證：PF₁+PF₂是定值。

Answer 1

解：（1）由題設知a²=b²+c²，e=，
由點（1，e）在橢圓上，得，
∴b=1，c²=a²-1
由點（e，）在橢圓上，得
∴，
∴a²=2
∴橢圓的方程為。
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直線AF₁與直線BF₂平行，
∴設AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由，可得（m²+2）-2my₁-1=0
∴，
∴|AF₁|=①
同理|BF₂|=②
（i）由①②得|AF₁|-|BF₂|=，
∴，解得m²=2
∵注意到m＞0，
∴m=
∴直線AF₁的斜率為。
（ii）證明：∵直線AF₁與直線BF₂平行，
∴，即
由點B在橢圓上知，，
∴
同理
∴PF₁+PF₂==
由①②得，，，
∴PF₁+PF₂=
∴PF₁+PF₂是定值。