Question

已知函數是奇函數，且滿足f（1）=f（4）
（Ⅰ）求實數a、b的值；
（Ⅱ）試證明函數f（x）在區間（0，2]單調遞減，在區間（2，+∞）單調遞增；
（Ⅲ）是否存在實數k同時滿足以下兩個條件：
①不等式對x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，試求出實數k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ） 由f（1）=f（4）得，解得b=4． …
由為奇函數，得f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立，
即，所以a=0． …
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，，…
∵0＜x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以，函數f（x）在區間（0，2]單調遞減． …
類似地，可證f（x）在區間（2，+∞）單調遞增． …
（Ⅲ）對于條件①，由（Ⅱ）得函數f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
故若對x∈（0，+∞）恒成立，
則需f（x）_min＞-，則4＞-，
∴k＞-8；
對于條件②，由（Ⅱ）可知函數f（x）在（-∞，-2）上遞增，在[-2，0）上遞減，
∴函數f（x）在[-6，-2]上遞增，在[-2，0）上遞減，
又f（-6）=-，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
所以函數f（x）在[-6，-1]上的值域為[-，-4]，
若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，則需-k≤-4，
若同時滿足條件①②，則需．
所以：-≤k≤-4．
故當-≤k≤-4時，條件①②同時滿足．
分析：（Ⅰ）先根據f（1）=f（4）求出b的值；再結合f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立求出a的值即可；
（Ⅱ）直接按照單調性的證明過程來證即可；
（Ⅲ）先結合第二問的結論知道函數f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4以及可知函數f（x）在（-∞，-2）上遞增，在[-2，0）上遞減；對于①；轉化為f（x）_min＞-；對于②轉化為求函數的值域問題即可；最后把兩個成立的范圍相結合即可求出結論．
點評：本題主要考察函數奇偶性與單調性的綜合．解決第一問的關鍵在于利用奇函數的定義得到f（x）+f（-x）=0對x≠0恒成立求出a的值．