Question

已知函數f(x)=x+

1

x

（1）求函數y=f（x）的定義域；
（2）判斷函數y=f（x）的奇偶性并證明；
（3）判斷函數y=f（x）在區間（1，+∞）的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）根據分母不為0得到x的范圍，即為函數的定義域；
（2）函數f（x）為奇函數，理由為：根據（1）找出函數的定義域，發現關于原點對稱，然后求出f（-x），化簡后得到其等于-f（x），從而根據奇函數的定義得到此函數為奇函數；
（3）函數在區間（1，+∞）上為增函數，理由為：在區間（1，+∞）上任取x₁＞x₂＞1，求出f（x₁）-f（x₂），通分后，根據設出的x₁＞x₂＞1，判定其差大于0，即f（x₁）＞f（x₂），從而得到函數為增函數．

解答：解：（1）要使函數有意義，則x≠0，
∴函數y=f（x）的定義域為{x|x≠0}；（4分）
（2）函數f(x)=x+

1

x

是奇函數，
證明：函數y=f（x）的定義域為：（-∞，0）∪（0，+∞）
任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f(-x)=(-x)+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
所以函數f(x)=x+

1

x

（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））是奇函數；（8分）
（3）函數f(x)=x+

1

x

在區間（1，+∞）上是增函數，
證明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，函數f(x)=x+

1

x

在區間（1，+∞）上是增函數．（12分）

點評：此題考查了函數定義域及其求法，函數奇偶性的判定，以及函數單調性的判定．奇函數的判定方法為：f（-x）=-f（x）且定義域關于原點對稱；函數單調性的判別方法為：在定義域內任意取兩個自變量設出其大小關系，利用作差的方法判定其對應的函數值的大小關系，從而得到函數的單調性．