Question

已知a＞b＞c，求證：

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

．

Answer 1

分析：由題設條件，a-c＞0，由此可將證明

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

的問題轉化為證明

a-c

a-b

+

a-c

b-c

≥4，由左邊往右邊進行變形證明即可，解題過程中要注意理解要證左邊大于右邊，故可以在變形過程中適當縮小，完成證明

解答：證明：∵

a-c

a-b

+

a-c

b-c

=

a-b+b-c

a-b

+

a-b+b-c

b-c

=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2+2

b-c a-b × a-b b-c

=4，（a＞b＞c）
∴

a-c

a-b

+

a-c

b-c

≥4
∴

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

點評：本題考查不等式的證明，證明的關鍵是證明其等價不等式，不等式的證明題通過證明其等價的不等式來證明原不等式成立的比較多，在本題證明過程中用到了基本不等式縮小，基本不等式與不等式的證明結合題型新穎