Question

已知函數f(x)=log

1

2

cos

πx

3

，函數g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)，x∈（0，1），若存在x₁，x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．（

  1

  2

  ，

  4

  3

  ）
• B．(

  2

  3

  ，1)
• C．(

  4

  3

  ，

  3

  2

  )
• D．（

  1

  2

  ，

  4

  3

  ）

Answer 1

分析：先由條件求得f（x）的值域，函數g（x）的值域，再根據這兩個函數的值域的交集非空，求得a的范圍．

解答：解：由于x∈（0，1），可得f（x）的值域為（0，1），
函數g(x)=asin(

π

6

x)-2a+2(a＞0)的值域為（2-2a，2-

3a

2

），
由于存在x₁，x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂）成立，故（0，1）∩（2-2a，2-

3a

2

）≠∅，
若（0，1）∩（2-2a，2-

3a

2

）=∅，則有2-2a≥1，或 2-

3a

2

≤0．
解得 a≤

1

2

，或a≥

4

3

，故a的范圍為（

1

2

，

4

3

）．

點評：本題主要考查復合三角函數的單調性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．