Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函數y=-x+12的圖象上．
（1）寫出S_n關于n的函數表達式；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）計算T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|；
（4）已知bn=

an-13

2

，若對一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用點（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函數y=-x+12的圖象上，可得

Sn

n

=-n+12，由此可求S_n關于n的函數表達式；
（2）再求一式，兩式相減，即可求數列{a_n}的通項公式；
（3）利用T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|=a₁+a₂+a₃+…+a₆-a₇-…-a₁₆=2（a₁+a₂+a₃+…+a₆）-（a₁+a₂+a₃+…+a₆+a₇+…+a₁₆），即可求得結論；
（4）bn=

an-13

2

=-n，若對一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，即為-n²+12n-3＜-mn對一切n∈N^*均成立，由此可得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，∵點（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函數y=-x+12的圖象上，∴

Sn

n

=-n+12
∴S_n=-n²+12n；
（2）當n=1時，a_n=a₁=S₁=11；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-[-（n-1）²+12（n-1）]=-2n+13，
∴n=1時，結論成立
∴a_n=-2n+13；
（3）T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|=a₁+a₂+a₃+…+a₆-a₇-…-a₁₆=2（a₁+a₂+a₃+…+a₆）-（a₁+a₂+a₃+…+a₆+a₇+…+a₁₆）
=2S₆-S₁₆=136；
（4）bn=

an-13

2

=-n，若對一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，即為-n²+12n-3＜-mn對一切n∈N^*均成立…（10分）
即m＜n+

3

n

-12對一切n∈N^*均成立
∴m＜-

17

2

…（12分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力．