Question

已知正項數列{a_n}中，對于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）證明：數列{a_n}中的任意一項都小于1；
（2）探究a_n與

1

n

的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據正項數列{a_n}，以及a_n²≤a_n-a_n+1，可得0＜a_n+1≤a_n-a_n²，解此不等式即可證明結論；
（2）根據（1），不難得出a₁＜1，a₂＜1，利用數學歸納法證明即可．證明時先證：①當n=1時成立．②再假設n=k（k≥1）時，成立，即ak＜

1

k

≤

1

2

，再遞推到n=k+1時，成立即可．

解答：解：（1）a_n²≤a_n-a_n+1，得a_n+1≤a_n-a_n²
∵在數列{a_n}中a_n＞0，
∴a_n+1＞0，
∴a_n-a_n²＞0，
∴0＜a_n＜1
故數列{a_n}中的任意一項都小于1．
（2）由（1）知0＜an＜1=

1

1

，
那么a2≤a1-

a

2 1

=-(a1-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

＜

1

2

，
由此猜想：an＜

1

n

（n≥2）．下面用數學歸納法證明：
①當n=2時，顯然成立；
②當n=k時（k≥2，k∈N）時，假設猜想正確，即ak＜

1

k

≤

1

2

，
那么ak+1≤ak-

a

2 k

=-(ak-

1

2

)2+

1

4

＜-(

1

k

-

1

2

)2+

1

4

=

1

k

-

1

k2

=

k-1

k2

＜

k-1

k2-1

=

1

k+1

，
∴當n=k+1時，猜想也正確
綜上所述，對于一切n∈N^*，都有an＜

1

n

．

點評：本題主要考查數列與不等式問題和數學歸納法，對探究性問題先歸納，再猜想，最后利用數學歸納法證明，數學歸納法的關鍵是遞推環節，要符合假設的模型才能成立，屬中檔題．