Question

如圖，已知⊙O和⊙O₁內切于點A，⊙O的弦AP交⊙O₁于點B，PC切⊙O₁于點C，且=，則⊙O₁和⊙O的半徑的比值為多少？

Answer 1

解：連接OP、OA、O₁B，△OPA和△O₁BA是頂角相等的等腰三角形，
故∠APO=∠ABO₁，從而O₁B∥OP
故=．
又由切割線定理，知PC²=PB•PA=（PA-AB）•PA=PA²-PA•AB，兩端同除以PA²，
得=1-，
即（）²=1-，
故=，
從而⊙O₁和⊙O的半徑的比值為==．
答：⊙O₁和⊙O的半徑的比值為
分析：根據同圓的半徑相等，得到兩個頂角相等的等腰三角形，得到兩條線段平行，根據平行線分線段成比例定理，得到比例式，又根據切割線定理得到關系式，把整理出的關系式兩邊同時除以PA²，得到要求的結果．
點評：本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是兩個比例式之間的變化，還有兩邊同時除以PA²的做法，本題是一個技巧性比較強的問題．