Question

已知AB=2，BC=1的矩形ABCD，沿對角形BD將△BDC折起得到三棱錐C-ABD，且三棱錐的體積為

2 5

15

，則異面直線BC與AD所成角的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：求出棱錐的高等于直角三角形BCD的斜邊BD上的高，可得平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，利用兩個向量的數量積的定義求出

AD

•

BC

的值，再根據又

AD

•

BC

=（

AF

+

FD

 ）•（

BE

+

EC

） 求出

AD

•

BC

的值，從而得到
 cos＜

AD

， 

BC

＞，即得BC與AD所成角的余弦值．

解答：解：設三棱錐C-ABD的高為h，則

1

3

（

1

2

×2×1）h=

2 5

15

，∴h=

2

5

，
故 h是直角三角形BCD的斜邊BD上的高，故平面BCD⊥平面ABD．作CE⊥BD，AF⊥BD，則
CE⊥面ABD，AF⊥面 BCD．

AD

•

BC

=1×1cos＜

AD

， 

BC

＞=cos＜

AD

， 

BC

＞．
又

AD

•

BC

=（

AF

+

FD

 ）•（

BE

+

EC

）=

AF

•

BE

+

AF

•

EC

+

FD

•

BE

+

FD

•

EC

 
=0+0+

FD

2+0=BC²-CE²=1-(

2

5

)2=

1

5

，
∴cos＜

AD

， 

BC

＞=

1

5

，故異面直線BC與AD所成角的余弦值為

1

5

，
故答案為

1

5

．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，體現了轉化的數學的思想，求出cos＜

AD

， 

BC

＞是解題的關鍵．