Question

已知函數(shù)f(x)=

2

x

-xm，且f(4)=-

7

2

．
（1）求m的值；     
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，-1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）由f(4)=-

7

2

代入可求m
（2）先設(shè)0＜x₁＜x₂，利用作差可得f(x2)-f(x1)=(

2

x2

-x2)-(

2

x1

-x1)=(

2

x2

-

2

x1

)+(x1-x2)=(x1-x2)(1+

2

x2x1

)，根據(jù)已知判斷比較f（x₂）與f（x₁）即可
（3）由（1）知：函數(shù)f(x)=

2

x

-x，其定義域為{x|x≠0}．且可證函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．結(jié)合（2）知f（x）在[1，5]上為減函數(shù)，則根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，-1]上為減函數(shù)．結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求

解答：解：（1）由f(4)=-

7

2

得：

2

4

-4m=-

7

2

，
即：4^m=4，解得：m=1；…（2分）
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．…（3分）
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=(

2

x2

-x2)-(

2

x1

-x1)=(

2

x2

-

2

x1

)+(x1-x2)=(x1-x2)(1+

2

x2x1

)；…（5分）
∵0＜x₁＜x₂
∴(x1-x2)(1+

2

x2x1

)＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．…（7分）
（3）由（1）知：函數(shù)f(x)=

2

x

-x，其定義域為{x|x≠0}．…（8分）
∴f(-x)=

2

-x

-(-x)=-(

2

x

-x)=-f(x)，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（9分）
由（2）知：f（x）在[1，5]上為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，-1]上為減函數(shù)．…（10分）
∴當x=-5時，f（x）取得最大值，最大值為f(-5)=-

2

5

+5=

23

5

；
當x=-1時，f（x）取得最小值，最小值為f（-1）=-2+1=-1．…（12分）
（其他解法請參照給分）

點評：本題主要考查了定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，一般步驟是①設(shè)量②作差③定號④給出結(jié)論；還考查了奇函數(shù)的性質(zhì)：奇函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)在區(qū)間上的最值．