Question

如圖1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起，使且，得一簡(jiǎn)單組合體如圖2示，已知分別為的中點(diǎn)．

   

圖1                              圖2

（1）求證：平面；

（2）求證： ；

（3）當(dāng)多長(zhǎng)時(shí)，平面與平面所成的銳二面角為？

 

Answer 1

【答案】

（1）主要是得到（2）關(guān)鍵是證明平面，（3）

【解析】

試題分析：（1）證明：連，∵四邊形是矩形，為中點(diǎn)，

∴為中點(diǎn)，                   

在中，為中點(diǎn)，則為的中位線

故       

∵平面，平面，平面；

（其它證法，請(qǐng)參照給分）

（2）依題意知 且

∴平面

∵平面，∴，    

∵為中點(diǎn)，∴

結(jié)合，知四邊形是平行四邊形

∴，               

而，∴ ∴，即 --8分

又       ∴平面，

∵平面，  ∴.            

（3）解：如圖，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，則

易知平面的一個(gè)法向量為，  

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則 故，即

令，則，故           

∴，

依題意，，解得，                 

即時(shí)，平面與平面所成的銳二面角為．

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理；直線與平面平行的判定定理；二面角

點(diǎn)評(píng)：在立體幾何中，常考的定理是：直線與平面垂直的判定定理、直線與平面平行的判定定理。在求二面角的平面角時(shí)，常利用向量來求解。