Question

設雙曲線的頂點為（0，±1），該雙曲線又與直線

15

x-3y+6=0交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點）．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）求|AB|

Answer 1

分析：（1）利用條件雙曲線的頂點為（0，±1），可以假雙曲線的方程為y2-

x2

b2

=1，再結合條件OA⊥OB，可求雙曲線的標準方程；
（2）求|AB|的長度，利用兩點間的距離公式求解．

解答：解：（1）雙曲線的頂點為（0，±1），可以假雙曲線的方程為y2-

x2

b2

=1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

15

x1-3y1+6=0，

15

x2-3y2+6=0，
∴15x₁x₂=9y₁y₂-18（y₁+y₂）+36，
∴x1x2=

3y1y2-6(y1+y2)+12

5

由 OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴4y₁y₂-3（y₁+y₂）+6=0…①
由 y2-

x2

b2

=1和

15

x-3y+6=0聯立消去x，∴（15b²-9）y²+36y-（15b²+36）=0…②
∴y₁+y₂=

36

9-15b2

，y₁y₂=

15b2+36

9-15b2

，代入①中得b²=3，
經驗證，此時△＞0，…（9分）
∴雙曲線的方程為y2-

x2

3

=1
（2）將b²=3代入②式中，得4y²+4y-9=0，y₁+y₂=-1，y₁y₂=-

9

4

∴|AB|=

1+ 1 k2

|y₂-y₁|=

1+ 3 5

•

1-4× -9 4

=4．

點評：本題（1）問利用直線與曲線聯立方程組，采用設而不求的方法，關鍵是設點；（2）問則在（1）問得基礎上借助于兩點間的距離公式求解．屬于中檔題．