Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，

an-1

an

=

an-1+1

1-an

（n∈N^*，n＞1）．
（1）求證：數列{

1

an

}是等差數列；
（2）求數列{a_na_n+1}的前n項和S_n；
（3）設f_n（x）=S_nx²ⁿ⁺¹，b_n=f'_n（2），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）將已知的等式兩邊同時乘以a_n（1-a_na_n-1）得到a_n-1-a_n-2a_n-1a_n=0，兩邊同除以a_na_n-1，利用等差數列的定義得到
證明．
（2）利用數列{

1

an

}是等差數列求出an=

1

2n-1

，進一步求出{a_na_n+1}的通項，根據其特點，利用裂項求和的方法求出數列{a_na_n+1}的前n項和S_n；
（3）將（2）中的S_n代入f_n（x），利用導數的運算法則求出b_n=f'_n（2），根據其特點是一個等差數列與一個等比數列的乘積，選擇錯位相減的方法求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）證明：當n≥2時，由

an-1

an

=

an-1+1

1-an

得：a_n-1-a_n-2a_n-1a_n=0
兩邊同除以a_na_n-1得：

1

an

-

1

a n-1

=2（2分）
∴{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，d=2為公差的等差數列（4分）
（2）由（1）知：

1

an

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

（6分）
∴anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

（8分）
（3）fn(x)=

n

2n+1

•x2n+1，
∴b_n=n•2²ⁿ
T_n=4+2×4²+3×4³+…+n×4ⁿ
4T_n=4²+2×4³+3×4⁴+…+（n-1）×4ⁿ+n×4ⁿ⁺¹
相減得：-3Tn=4+42+43+…+4n-n×4n+1=-

(3n-1)×4n+1+4

3

∴Tn=

(3n-1)×4n+1+4

9

（12分）

點評：本題考查求數列的前n項和，應該先求出數列的通項，然后根據通項的特點選擇合適的求和方法，屬于中檔題．