Question

（本題滿分15分）

設分別是橢圓的左、右焦點．

⑴若是該橢圓上的一點，且，求的面積；

⑵若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；

⑶設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）的最大值為1，最小值為-2（3）或

【解析】

試題分析：（1）易知，，，所以，，

所以,又是該橢圓上的一點，所以，

因為，所以在中利用余弦定理可知：,

即，

所以的面積為.                                    ……5分

（2）解法一：設P，

則，

因為，故當，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值－2；

當，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值1。                         ……10分

解法二：（1）易知，，，所以，，設P，則

（以下同解法一）。          ……10分

（3）顯然直線不滿足題設條件。

可設直線：，A（），B（），

聯立，消去，整理得：，

∴，

由得：或 ①

又，

∴，

又，

∵，即，∴    ②

故由①②得或。                                          ……15分

考點：本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、三角形面積、余弦定理和向量的數量積的應用等，考查學生數形結合思想的應用和運算求解能力.

點評：第（1）問求三角形的面積，只需求出即可；第（3）中設直線方程時，要考慮直線的斜率是否存在.