Question

已知圓C的圓心與點P（-2，1）關于直線y=x+1對稱，直線3x+4y-11=0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=6，求圓C的方程．

Answer 1

分析：設圓心坐標為C（a，b），根據點C與點P關于直線y=x+1對稱建立關于a、b的方程組，聯解求出a、b，可得圓心C的坐標；再根據垂徑定理列式，可求出圓的半徑，從而得到所求圓C的方程．

解答：解：設圓心坐標C（a，b），
由圓心C與點P關于直線y=x+1對稱，得到直線CP與y=x+1垂直，
結合y=x+1的斜率為1得直線CP的斜率為-1，所以

1-b

-2-a

=-1，化簡得a+b+1=0①，
再由CP的中點在直線y=x+1上，得到

1+b

2

=

a-2

2

+1，化簡得a-b-1=0②
聯解①②，可得a=0，b=-1，
∴圓心C的坐標為（0，-1），可得圓心C到直線AB的距離d=

|-4-11|

32+42

=3，
又∵

1

2

|AB|=3，
∴根據勾股定理，得r滿足：r²=d²+（

1

2

|AB|）=18，
因此，圓C的方程為x²+（y+1）²=18．

點評：本題給出圓與圓關于直線對稱，在已知圓被已知直線截得弦長的情況下，求圓的標準方程，考查了求一個點關于直線的對稱點、垂徑定理及點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．